Resíduos quadráticos

Abstract

Neste trabalho, estudamos as resoluções em Z das congruências quadáticas da forma x2 ≡ a (mod p), sendo p um número primo positivo e a um inteiro que não é divisível por p, no sentido de verificar a existência ou não de um inteiro x0 tal que x20 ≡ a (mod p). Nosso estudo é realizado através do Critério de Euler e de algumas propriedades do Símbolo de Legendre. Em seguida, estudamos um resultado indispensável, conhecido na literatura como Lema de Gauss, uma vez que, o mesmo é um ponto de partida para provar a Lei da Reciprocidade Quadrática. Essa lei conecta a solubilidade das congruências x2 ≡ q (mod p) e x2 ≡ p (mod q), em que p e q são primos ímpares distintos. Em especial, caracterizamos os primos p para os quais alguns inteiros são ou não resíduos quadráticos módulo q. Por fim, encerramos o trabalho com algumas aplicações da teoria estuda, bem como o teste de Pépin, que por sua vez, é um teste de primalidade e, também, a irracionalidade de alguns números usando a Lei da Reciprocidade Quadrática.