Séries de Fourier e aplicações

Abstract

As séries de fourier são modelos matemáticos utilizados para desenvolver estudos relacionados a processos físicos, de tal modo que formam representações de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) ou como uma soma de funções periódicas. Segundo Fourier, qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. E mais, tais séries de funções podem ser infinitas, de tal forma que a convergência destas séries dependem apenas da diferenciabilidade da função f que é contínua por partes. Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral: f(x) = a0+a1sen(x)+a2sen(2x)+a3sen(3x)+...+b1cos(x)+b2cos(2x)+b3cos(3x)+... Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem se extender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função original f(x). Restava então, achar uma forma de calcular os coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,..., etc., de cada termo da série. Esses coeficientes, como vemos, são as amplitudes de cada onda componente do desenvolvimento em série. Pois foi isso que Fourier conseguiu fazer: achou uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes, coisa que escapara de gigantes como Euler e Bernouilli.