Processos Estocásticos: difusão normal e anômala

Abstract

A difusão é um fenômeno muito comum na natureza e, em geral, ocorre quando um sistema encaminha se para o estado de equilíbrio. Portanto, é de importância fundamental em toda a Física. Num processo de difusão, um conjunto de partículas microscópicas, move-se randomicamente, realizando um movimento individual altamente irregular, porém o conjunto se difunde. Num nível macroscópico, este comportamento coletivo, contrastando com o movimento individual microscópico, apresentam grande regularidade e segue leis dinâmicas bem definidas. O objetivo desse trabalho é demonstrar a formulação estocástica para o fenômeno de difusão normal e anômalo em termos de um caminho aleatório. Essa descrição foi trabalhada por Langevin[3] e Fokker Planck [7, 11] e faz parte dos conceitos fundamentais na teoria de difusão em geral. A primeira solução da equação de difusão foi realizada por A. Einstein[2], em sua tese de doutorado em 1905, quando ele explicou a dança aleatória de pequenas partículas em suspensão num líquido (movimento browniano). Em contraste, a difusão anômala, em geral, tem como característica o crescimento não linear da variância no decorrer do tempo. Concluímos nossa demonstração caracterizamos a solução da equação de Fokker-Planck, sem termo de força e não linear através de uma distribuição de probabilidade. Mostramos os casos particulares em que o processo de difusão é normal, subdifusivo ou superdifusivo. Esperamos que esse trabalho sirva de fonte inspiradora para futuras pesquisas nessa área da física. Consideramos que nessa área nem sempre é fácil, representando muitas vezes um trabalho árduo. Contudo, deixamos as informações apresentadas como modelo de motivação aos estudos dos processos difusivos.