Tópicos avançados de processos markovianos e aplicações

Abstract

O objetivo deste trabalho foi estudar alguns aspectos dos Processos Markovianos de forma mais aprofundada do que aquela que é vista em geral em um curso de graduação. Um processo estocástico {X(t) : t ∈−T} é uma coleção de variáveis aleatórias, isto é, para cada t ∈T , X(t) é uma variável aleatória. O conjunto T é chamado conjunto de índices e o conjunto de todos os valores que as variáveis X(t) pode assumir é chamado espaço de estados do processo estocástico. Frequentemente, o índice t é interpretado como tempo t e por isso nos referimos a X(t) como o estado do processo no tempo t. Daí, uma maneira alternativa de se definir um processo estocástico é: um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias que descreve a evolução de algum processo físico através do tempo. Um aspecto importante nas situações práticas é o conhecimento sobre a estrutura de dependência que há entre as variáveis. O caso mais considerado é aquele em que as variáveis são independentes. Isso facilita bastante operações envolvendo a verossimilhança, no entanto, muitas vezes tal estrutura não é adequada. Aqui, o enfoque será naqueles casos em que se observa uma estrutura de dependência chamada de dependência de Markov. Um processo estocástico é dito ser markoviano se, uma vez que se conhece o estado atual do processo, os estados passados não influenciam o futuro. Essa é a definição mais comum de se encontrar na literatura e trata apenas daqueles casos em que a informação mais recente que se tem sobre o processo concentra “toda” informação que o passado tem para se conhecer o futuro. Mas essa definição pode ser mais geral, considerando que não apenas a informação mais recente, mas as k informações mais recentes influenciam no futuro do processo. Esses modelos tem notável importância e amplo uso teórico e prático. No final aplicou-se tal teoria em um conjunto de dados relacionado às altas e baixas da cotação do dólar no Brasil no começo deste ano.