Um estudo sobre o teorema de Lax-Milgram com ênfase em alguns métodos de demonstração

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo sobre o Teorema de Lax–Milgram, com ênfase em sua formulação clássica. Inicialmente, apresenta-se um contexto histórico e, em seguida, revisa-se a base teórica necessária, abordando conceitos fundamentais de Análise Funcional, com foco em espaços completos, particularmente os espaços de Banach e de Hilbert, funcionais lineares contínuos, formas bilineares e operadores lineares. O objetivo central é compreender as condições que asseguram a existência e a unicidade de soluções de equações funcionais associadas a formas bilineares contínuas, conforme estabelecido pelo teorema. O método adotado baseia-se na exposição teórica e na análise de três abordagens distintas para a demonstração do resultado principal: a clássica, utilizando o Teorema de Riesz–Fréchet; uma baseada no Teorema de Hahn–Banach; e uma alternativa fundamentada no Teorema do Ponto Fixo de Banach. Como resultado, evidencia-se a flexibilidade do teorema, sua aplicabilidade em diferentes contextos matemáticos e sua importância em áreas como teoria das equações diferenciais parciais, métodos variacionais e análise numérica.