O Teorema de Hahn-Banach e aplicações

Abstract

Neste trabalho, temos como objetivo principal apresentar e demonstrar o Teorema de Hahn-Banach que é um dos resultados de maior aplicação da análise funcional. Este teorema permite que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial sejam estendidos a todo o espaço. O teorema se apresenta na literatura em diversas formas, tanto analíticas como geométricas. Neste trabalho será apresentado o Teorema de Hahn-Banach na sua forma analítica e geometrica, seguida de uma de suas aplicações. Em sua forma analítica, o teorema de Hahn-Banach será a de monstrado para o caso em que o espaço vetorial é real e para o caso em que o espaço vetorial é complexo. Na sua forma geométrica, o Teorema de Hahn-Banach trata da separação de convexos por hiperplanos. Por fim, mostraremos uma aplicação deste resultado na separação de conjuntos convexos por um funcional linear. Para tanto, foi realizada uma pesquisa bibliográfica em busca de alguns resultados preliminares necessários á demonstração deste teorema. Dessa forma, neste trabalho apresentamos os pressupostos necessários para enunciarmos e demonstrarmos o Teorema de Hahn-Banach.