Equações diferenciais ordinárias e aplicações

Abstract

A maioria das leis da Física, Biologia, Química e Ciências Sociais encontram suas expressões naturais nas Equações Diferenciais. Se por um lado, inúmeros problemas em Topologia, Geometria e Cálculo das Variações são formulados através de Equações Diferenciais ou a elas se reduzem, por outro lado, até mesmo o método da separação das variaveis aplicado a determinadas Equações Diferenciais Parciais nos conduz a uma Equação Diferencial Ordinária. O estudo das Equações Diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descoberto simultaneamente por Newton e Leibiniz, para resolver problemas modelados por lei físicas e geométricas. Em fins do século dezoito a teoria das Equações Diferenciais se transformou numa das ferramentas mais importante e eficaz para pesquisa científica e tecnológica. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e outros foram decisivas no desenvolvimento do Cálculo das Variações,Mecânica Celeste,Teoria das Oscilações,Elasticidade,Dinâmica dos Fluídos e outros. No século dezenove com o advento da noção de limite pôde se fazer uma reformulação geral visando maior rigor e exatidão nos métodos. Enquanto que, antes a preocupação era obter uma solução geral para uma dada Equação Diferencial, agora tem-se como questão prioritária em cada problema e existência e unicidade de soluções satisfazendo condições iniciais dadas. Este problema é conhecido como problema de Cauchy.