As Integrais de Riemann e de Lebesgue: Comparações e generalização

Abstract

As ideias do Cálculo foram resultados de apronfundamentos nos estudos de grandes matemáticos ao longo do Século XIX. Um grande destaque para a teoria da integração são as conjecturas estabelecidas por Riemann para a época, pois resolvia grande parte dos problemas propostos. No Século XX, originou-se uma nova teoria que a princípio foi bastante refutada pelos matemáticos, isto é, a Teoria de Lebesgue, que, por sua vez, diferenciava da de Riemann devido a sua fundamentação na teoria da medida. Contudo, ao longo do tempo, o reconhecimento foi surgindo por sanar ou “diminuir” as “fragilidades” da integral de Riemann. Dessa forma, este trabalho tem o objetivo de apresentar, de forma breve, os principais resultados que desenvolvem as duas integrais. O estudo foi dividido em três partes: inicialmente, apresentamos as principais ideias de Riemann, posteriormente, trazemos o desenvolvimento da teoria da integração de Lebesgue e por último, fazemos a comparação das duas integrais bem como verificamos através de um exemplo a diferença entre tais. A fim de apontar que a segunda nada mais é que uma generalização da primeira.