Geometria no disco unitário: O que Euclides poderia ter feito com um punhado de paralelas

Abstract

No decorrer de nosso estudo de Geometria Hiperbólica (GH), concentramo-nos na análise da quadratriz de Hipias. Essa curva desempenhou um papel significativo na busca por soluções para o problema da quadratura do círculo. Nosso principal objetivo era compreender e abordar esse desafio matemático, para o qual conseguimos oferecer uma solução ao explorar a GH. Mergulhando mais profundamente nessa nova geometria, também dedicamos atenção a que configuração assumiria nela o teorema de Pitágoras. A versão desse teorema na GH enriqueceu nossa compreensão das relações entre os elementos geométrico nesse ambiente não euclidiano. Trabalhamos no modelo proposto pelo matemático Jules Henri Poincaré para a GH. Esse modelo, denominado Disco de Poincaré, nos permite investigar as propriedades e comportamentos dos objetos dessa geometria.