Séries de potências: fundamentos matemáticos, teóricos e aplicações práticas em física

Abstract

Este Trabalho irá abordar a análise das séries de potências e suas aplicações na matemática aplicada, especialmente no estudo de funções elementares (seno, cosseno, exponencial e logarítmica) e equações diferenciais ordinárias. O estudo inicia-se com uma introdução às séries numéricas, detalhando conceitos como limite, série geométrica, teste da série alternada, convergência absoluta e teste da razão. Esses conceitos fundamentais são essenciais para compreender as séries de potências e sua aplicabilidade em diferentes contextos matemáticos. A segunda parte do trabalho foca nas séries de potências propriamente ditas, incluindo sua representação de funções e processos de derivação e integração. As séries de Taylor e Maclaurin recebem destaque, evidenciando como essas ferramentas matemáticas são utilizadas e mostrando que são mais que meros conceitos teóricos. Na terceira parte, o estudo avança para as equações diferenciais ordinárias (EDOs), abordando a ordem e linearidade dessas equações, bem como a solução em séries de potências em pontos ordinários. Esta seção é de extrema importância para demonstrar a aplicabilidade prática das séries de potências na resolução de EDOs, o que é ilustrado de forma mais aprofundada na análise da Equação de Hermite. A Equação de Hermite, de grande relevância na física matemática, que é o foco da quarta parte, é apresentada como uma aplicação significativa das séries de potências. A resolução dessa equação, que surge em diversos contextos da física e matemática aplicada, é detalhada, mostrando como as séries de potências são utilizadas para encontrar sua solução. Esse exemplo reforça a importância dessas séries tanto na teoria quanto na prática, destacando sua utilidade na representação e análise de funções reais (a imagem sendo um subconjunto de ℝ , 𝑓:𝐷 ⊂ ℝ → ℝ ).