Equações diferenciais parciais: um estudo introdutório à equação da onda com simulações numéricas

Abstract

O desenvolvimento das equações diferenciais está intimamente ligado ao avanço geral da Matemática. No século XVII, Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) inauguraram estudos muito relevantes envolvendo esse tipo de equação, que, em geral, dependia apenas de uma variável, e que hoje é conhecida como Equação Diferencial Ordinária (EDO). Posteriormente, devido à necessidade de modelar problemas físicos mais sofisticados, outros matemáticos passaram a estudar as chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), que por sua vez dependem de mais de uma variável. Sob essa perspectiva, objetivou-se, por meio deste trabalho, proceder com um estudo introdutório às Equações Diferenciais Parciais, investigando técnicas de resolução dessas equações, referentes à existência, unicidade de solução e dependência contínua de dados iniciais. Neste contexto, a ênfase foi sobre a equação da onda, que é do tipo (∂^2u)/(∂t^2) = a^2(∂^2u)/(∂x^2). Ela é uma EDP clássica que modela fenômenos como o som, a luz e as ondas sísmicas. Neste sentido, foram utilizados o Método de D'Alembert e o Método de Fourier para resolver problemas mistos envolvendo a equação da onda. Trata-se, portanto, de um estudo de natureza bibliográfica, uma vez que foram explorados textos que versam sobre o tema como pilares da pesquisa, com o intuito de investigar e aprender sobre as EDPs. A partir disto, foram desenvolvidas simulações gráficas nos softwares computacionais GeoGebra e Python, com o intuito de tornar didática a visualização de alguns resultados obtidos durante a pesquisa, como a interpretação geométrica da solução de D'Alembert e a convergência de uma série de Fourier para a função associada a ela.