Uma generalização do teorema do valor médio para integrais

Abstract

Os teoremas do tipo valor médio são resultados que estabelecem algum tipo de média, de acordo com o contexto em que ele está inserido. Há diversos teoremas que são caracterizados assim, como, por exemplo, os Teoremas do Valor Médio (TVM) de Lagrange e de Cauchy, o Teorema de Flett e o Teorema do Valor Médio para Integrais. Este último é o que constitui nosso estudo. O TVM para Integrais estabelece que, para uma função contínua em um intervalo fechado $ [a,b]$, existe ao menos um ponto $c\in [a,b]$ tal que a integral definida da função pode ser expressa como o valor da função nesse ponto multiplicado pela medida do intervalo. Geometricamente, esse resultado garante que a área sob o gráfico de uma função contínua é igual à área de um retângulo de base $(b-a)$ e altura $f(c)$, fornecendo uma ponte entre análise matemática e interpretação geométrica. Diversas generalizações desse resultado têm sido estudadas, buscando ampliar sua aplicabilidade em contextos mais gerais. O objetivo deste trabalho é apresentar a generalização do TVM para integrais introduzida por Tong (2002). Esse resultado estabelece uma relação entre as integrais de funções $f$ e $g$ em subintervalos complementares e os valores pontuais das próprias funções num ponto $c$. Interpretando geometricamente, temos que a soma da área sob o gráfico de $f$ em $[a,c]$ e a área sob o gráfico de $g$ em $[c,b]$ é igual a soma das áreas de dois retângulos, um com base $[c,b]$ e altura $f(c)$ e outro com base $[a,c]$ e altura $g(c)$. Ademais, a demonstração do resultado se apoia nas propriedades da continuidade das funções envolvidas, além da aplicação do Teorema de Rolle em um argumento construtivo, que usualmente não é utilizado.